Sistemas Numéricos Posicionais. Generalizando para qualquer Base.

by Roberto M.

No artigo Entendendo o que são Sistemas de Numeração. vimos que, nos sistemas de numeração posicionais, o valor representado pelo algarismo depende da posição em que ele aparece na representação do número. Vimos também que a base de um sistema de numeração posicional é a quantidade de algarismos disponível na representação. 

A mais usualmente empregada é a base 10, mas existem outras.

A linguagem de computadores utiliza a base 2 (sistema binário) e na computação também são usadas base 8 (sistema octal) e base 16 (sistema hexadecimal).

Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a representação de um número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Na base 2, apenas 2 algarismos: 0 e 1. Na base 16, 16 algarismos: os 10 algarismos aos quais estamos acostumados, mais os símbolos A, B, C, D, E e F, representando respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15 unidades.

Teoricamente, podemos ter sistemas de numeração posicionais com qualquer quantidade de algarismos, ou seja, em qualquer base.

Generalizando: uma base b qualquer disporá de b algarismos, variando entre 0 e (b-1).

No artigo Como Funciona o Sistema de Numeração Decimal. vimos o principio de funcionamento do sistema numérico decimal (base 10), onde por exemplo, a representação do número 236,47 significa: 2x10² + 3x10¹ + 6x10⁰ + 4x10^-1 + 7x10^-2.

Este princípio aplicado ao sistema de numeração decimal é válido para qualquer sistema de numeração.

Por analogia, se, no sistema decimal, para obter o valor do número, multiplicamos os algarismos por potências de 10, no sistema binário (base 2) fazemos esta mesma operação, só que baseada em potências de 2, ou seja: 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴ e assim por diante.

Se o sistema de numeração for o Octal (base 8), multiplica-se por potências de 8: 8º, 8¹, 8²,...

Se o sistema for o Hexadecimal (base 16), multiplica-se por potências de 16, (a letra A equivale a 10, já que não tem sentido multiplicar por uma letra, a letra B equivale a 11 e assim por diante): 16⁰, 16¹, 16²,...

Generalizando, representamos um número N qualquer, numa dada base b, como segue:

N_b = a_n bⁿ + a_n-1b^n-1 +... + a₂b² + a₁b¹ + a₀b⁰ + a_-1b^-1 + a_-2b^-2 +.... + a_-nb^-n

 

Sendo que,

a_nbⁿ +... + a₂b² + a₁b¹ + a₀b⁰ é a parte inteira e

a_-1b^-1 + a_-2b^-2 ++... + a_-nb^-n é a parte fracionária.

 

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