Potenciação ou Exponenciação. É fácil quando se entende.

by Roberto M.

O que é potenciação? Como se faz potência de um número? Quais as propriedades da potenciação?

No princípio aprendemos a somar e descobrimos que quando partimos de dois números quaisquer (A e B) e resolvemos fazer a adição deles (A+B), obtemos um resultado (R), cuja indicação matemática é A+B=R. O resultado R é chamado de soma de A e B, enquanto os números A e B são chamados de parcelas da adição.

Assim, na adição dos números 2 e 5, por exemplo, teremos 2+5=7, onde 2 e 5 são as parcelas e 7 é a soma de 2 e 5.

Depois, quando aprendemos a multiplicar, descobrimos que quando partimos de dois números quaisquer (A e B) e resolvemos fazer a multiplicação deles (AxB), obtemos um resultado (R), cuja indicação matemática é AxB=R.

O resultado R é chamado de produto de A por B, enquanto os números A e B são chamados de fatores da multiplicação.

Nesse ponto, descobrimos também uma coisa interessante: o produto AxB é a mesma coisa que a soma de A parcelas iguais a B.

Exemplo: 4x3 = 3+3+3+3

Assim, usando a definição de produto, temos um modo simplificado de escrever uma soma de parcelas iguais. Veja: 7+7+7+7 = 4x7

Agora, vamos ver uma maneira simplificada de escrever produtos de fatores iguais.

Vamos considerar, como exemplo, dois números, 4 e 6 e calcular o produto de 4 fatores iguais a 6: 

6x6x6x6 = 36x6x6 = 216x6 = 1296

Assim, partindo dos números 4 e 6, realizamos uma operação cujo resultado é 1296.

É exatamente essa operação que realizamos, que se chama POTENCIAÇÃO.

O resultado que encontramos, 1296, é chamado 4ª potencia de 6, cuja indicação matemática é: 6^4.= 1296.

O número 6 é chamado base da potência e o 4 é o expoente.

A base é o fator que se repete.

O expoente é o número de vezes que repetimos a base.

A potência é o resultado da operação.

Desse modo, generalizando, para dois números quaisquer A e n, temos que: a potência Aⁿ é igual ao produto de n fatores iguais a A.

Entendida a definição de potenciação, podemos partir agora para as propriedades dessa operação.

Propriedades da Potenciação

1-Produto de potências de mesma base.

Observe com atenção:

3⁴ x 3³ = 3x3x3x3     x      3x3x3      =      3x3x3x3x3x3x3    =   3⁷

             4 fatores           3 fatores               7 fatores

Ou seja, para multiplicar potências de mesma base, basta conservar a base e somar os expoentes.

Generalizando:  Aⁿ x A^m x A^t = A^{n + m + t}

2-Quociente de potências de mesma base.

Observe com atenção:

3⁵  : 3³ = 3x3x3x3x3    :    3x3x3      =      3x3      =    3²

               5 fatores          3 fatores        2 fatores

Ou seja, para dividir potências de mesma base, não nula, basta conservar a base e subtrair os expoentes.

Generalizando:  Aⁿ  :  A^m  = A^{n - m}

3-Potência de potência.

Se quisermos elevar um número ao quadrado e o resultado que der elevar ao cubo, indicamos assim:  (A²)³

Podemos considerar essa operação como uma potência de expoente 3 e base A². Portanto, temos uma potência cuja base é uma potência. Dizemos que se trata de uma potência de potência.

Veja: (A²)³  =  A² x A² x A²  =  A²⁺²⁺²  = A^3x2  =  A⁶

Ou seja, para elevar uma potência a um novo expoente, basta conservar a base e multiplicar os expoentes.

Generalizando: (A^m)ⁿ  =  A^{m x n}

4-Quando o expoente é um.

Pela definição de potenciação, 2¹ significa que a base 2 ”repete-se” apenas 1 vez, logo 2¹ =2.

Então definimos: toda potência de expoente 1 é igual à base.

Generalizando: A¹ = A

5-Quando o expoente é zero.

Observe com atenção:

3²  :  3²  =   9 : 9  =  1

Mas,

3²  :  3² = 3^2-2  = 3⁰

Estas duas expressões devem ter resultados iguais, portanto 3⁰  =  1

Então definimos: toda potência de expoente 0 é igual a 1.

Generalizando: A⁰  =  1

Obs.: A potência 0⁰ não apresenta interesse prático, mas do ponto de vista teórico também podemos definir que  0⁰ = 1.

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