Fatoração de um número natural

by Roberto M.

O que é fator primo? O que é decomposição em fatores primos? Como se faz para fatorar um número? O que é fatoração?
Já sabemos o que são e como diferenciar números primos e compostos. Sabemos também que, com exceção do número 1, que não é primo nem composto, todos os outros números, ou são primos, ou são compostos. Vamos relembrar que, quando realizamos uma multiplicação de dois ou mais números, os termos dessa multiplicação são chamados fatores e o resultado produto. 

Portanto, podemos dizer que produto é a multiplicação dos fatores, ou seja, produto é igual a fator vezes fator vezes fator, etc.

DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS

Agora que relembramos tudo isso, é fácil concluir que todo número natural maior do que 1, ou é primo ou pode ser decomposto num produto de fatores.

Vejamos alguns modos de decompor o número 20, por exemplo, em um produto de fatores:

20 = 1 x 20      20 = 2 x 10      20 = 4 x 5      20 = 1 x 2 x 10      20 = 2 x 2 x 5

Examinando cada uma dessas decomposições, podemos notar que os fatores não primos (exceto o 1 que é o elemento neutro da multiplicação e não é primo nem composto) também podem ser decompostos em fatores.

Prosseguindo com esse raciocínio, até que todos os fatores sejam apenas números primos, veremos que qualquer número natural maior do que 1, ou será primo ou poderá ser decomposto num produto de fatores primos, ou seja, todos os fatores serão números primos.

No nosso exemplo, 

20 = 2 x 2 x 5 (todos os fatores são números primos).

FATORAÇÃO DE UM NÚMERO

Ainda analisando o exemplo, podemos concluir também que, todo número composto, não nulo, admite uma única decomposição em fatores primos (sem levar em conta a ordem dos fatores).

A essa única decomposição em fatores primos chamamos fatoração do número.

Fatorar um número significa decompor esse número num produto de fatores primos.

TÉCNICA PARA FATORAÇÃO

Já aprendemos como reconhecer os números primos, e assim, podemos lembrar que os primeiros números primos, na ordem crescente são:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,...

Com isso, vamos aprender uma técnica para decompor um número natural qualquer em fatores primos.

Consideremos decompor o número 30.

1) Escrevemos o número que queremos decompor e colocamos um traço vertical ao lado dele.

2) Descobrimos o menor número primo pelo qual o número dado é divisível. Colocamos esse número primo no outro lado do traço.

3) Efetuamos a divisão e colocamos o quociente sob o número dado

4) Repetimos o processo para o quociente obtido, descobrimos o menor número primo pelo qual o quociente é divisível. Colocamos esse número no outro lado do traço. Efetuamos a divisão e colocamos o novo quociente abaixo do anterior.

5) Repetimos o processo para o quociente obtido, até encontrar quociente igual a 1.

6) Escrevemos a decomposição

30 = 2 x 3 x 5

Com essa técnica, podemos fatorar qualquer número natural maior que 1.

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