Mínimo Múltiplo Comum. Aprenda a calcular MMC.

by Roberto M.

O que é mmc? Como fazemos para calcular o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números?

Em outros artigos já aprendemos o que é divisibilidade e divisor de um número natural.

Vimos também o conceito de múltiplos e como obtemos os múltiplos de um número.

Assim, relembrando, “sempre que um número natural A for divisível por um número natural B não nulo, dizemos que A é múltiplo de B”.

Podemos dizer também, que todo número natural B, não nulo, tem um conjunto de múltiplos M(B) formado por todos os números naturais múltiplos de B que pode ser indicado assim:

M(B) = {0, B, 2.B, 3.B, 4.B, 5.B, 6.B, 7.B, 8.B, 9.B, 10.B, ...}

MMC DE DOIS NÚMEROS NATURAIS

Se pegarmos os conjuntos de múltiplos de dois números naturais quaisquer, podemos compará-los e verificar quais são os múltiplos comuns aos dois números, ou seja, aqueles múltiplos que estão ao mesmo tempo nos dois conjuntos. 

Por exemplo, vamos considerar os números 4 e 6 e os seus respectivos conjuntos de múltiplos:

 

M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, ...}

M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, ...}

Se fizermos a intersecção dos dois conjuntos, ou seja, verificarmos os elementos comuns aos dois conjuntos, podemos dizer que esses elementos serão múltiplos, ao mesmo tempo, de 4 e 6. Eles serão os múltiplos comuns de 4 e 6.

MC(4,6) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, ...}

Analisando esse conjunto dos múltiplos comuns de 4 e 6, podemos verificar qual é o menor deles. Excluindo-se o zero, que é múltiplo de qualquer número natural, descobrimos que o número 12 é o menor múltiplo comum de 4 e 6. 

Por isso dizemos que 12 é o mínimo múltiplo comum de 4 e 6 e indicamos assim:

mmc(4, 6) = 12 (leia-se: mmc de 4 e 6 é 12).

Generalizando teremos:

O mínimo múltiplo comum de dois números naturais não nulos A e B é o menor número que é múltiplo ao mesmo tempo de A e de B, excluindo-se o zero que é múltiplo de qualquer número natural.

CÁLCULO DE MMC – Regra da Decomposição Simultânea

Vamos mostrar uma regra prática para calcular o mmc de dois ou mais números. Para isso, iremos apresentá-la na forma de um exemplo. Vamos calcular o mmc dos números 18, 25 e 30. 

Sigamos os passos:

1) Escrevemos os números que queremos calcular o mmc, separados por vírgulas, e colocamos um traço vertical ao lado do último.

2) No outro lado do traço, colocamos o menor dos fatores primos dos números dados.

3) Sob cada número divisível pelo fator colocado no outro lado, anotamos o quociente da divisão. Os números não divisíveis pelo fator do outro lado devem ser repetidos.

4) Agora, no outro lado do traço, ao lado dos quocientes encontrados, colocamos o menor dos fatores primos desses quocientes.

5) Sob cada número divisível pelo novo fator colocado no outro lado do traço, anotamos o quociente da divisão. Os números não divisíveis pelo fator do outro lado devem ser repetidos.

6) Prosseguimos com este processo até chegar ao número 1 sob cada número dado.

7) O mmc será o produto dos fatores primos colocados no outro lado

mmc (18, 25, 30) = 2 x 3² x 5² = 2 x 9 x 25 = 450

MMC PELO MÉTODO DA FATORAÇÃO

Existe outra maneira de calcular o MMC de dois ou mais números. 

Essa maneira consiste em utilizar a decomposição de cada um desses números em fatores primos. Quem quiser relembrar como fazer fatoração, veja o artigo “Fatoração de um número natural. “.

Vamos mostrar o modo de calcular o mmc por fatoração através de um exemplo. 

Iremos determinar o mmc dos números 240 e 252 seguindo os passos:

1) Decompor, separadamente, os números em fatores primos:

240 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2⁴ x 3 x 5

252 = 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 2² x 3² x 7

2) Verificar os fatores primos comuns e não comuns a todos os números. 

No nosso exemplo temos os seguintes fatores:

2⁴, 2², 3², 3, 5, 7.

3) O mmc dos números dados é o produto dos fatores primos comuns e não comuns, tomando-se sempre, cada fator, com o maior expoente apresentado nas fatorações.

mmc(240,252) = 2⁴ x 3² x 5 x 7 = 5040

4) Generalizando dizemos:

O mmc, pelo método da fatoração, é exatamente, o produto dos fatores primos comuns e não comuns, tomando cada um com o maior expoente que apresenta na fatoração.

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