Múltiplos de um número natural.

by Roberto M.

O que é múltiplo de um número? 
Quais são os múltiplos de um determinado número natural? 

Como obtemos os múltiplos de um número? 

O número zero tem algum múltiplo? 

Para entender o conceito de múltiplo, devemos antes relembrar os conceitos de divisor e divisibilidade. 

Para isso, podemos reler o artigo “Divisor e Divisibilidade nos números naturais”.

Assim, dizemos que um número natural qualquer A é divisível por um número natural qualquer B não nulo, quando a divisão de A por B é exata, ou seja, dá resto igual a zero. 

Por exemplo: 

18 é divisível por 6, porque a divisão de 18 por 6 é exata; 

24 é divisível por 6, porque a divisão de 24 por 6 é exata; 

60 é divisível por 6, porque a divisão de 60 por 6 é exata. 

MÚLTIPLO DE UM NÚMERO 

Usando o mesmo conceito de divisibilidade, vamos definir múltiplos. 

Tomando o mesmo exemplo acima, dizemos que: 

18 é múltiplo de 6, porque 18 é divisível por 6; 

24 é múltiplo de 6, porque 24 é divisível por 6; 

60 é múltiplo de 6, porque 60 é divisível por 6. 

Desse modo, podemos generalizar: 

Sempre que um número natural A for divisível por um número natural B não nulo, dizemos que A é múltiplo de B. 

CONJUNTO DOS MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO 

Agora que sabemos quando um número é múltiplo de outro, temos condições de achar os múltiplos de um número qualquer. 

Para obter diretamente os múltiplos de um número natural, basta multiplicá-lo por cada um dos números naturais. 

Vejamos, como exemplo, os múltiplos do número 6: 

0 x 6 = 0        4 x 6 = 24       8 x 6 = 48      12 x 6 = 72 

1 x 6 = 6        5 x 6 = 30       9 x 6 = 54      13 x 6 = 78 

2 x 6 = 12      6 x 6 = 36      10 x 6 = 60      14 x 6 = 84 

3 x 6 = 18      7 x 6 = 42      11 x 6 = 66      15 x 6 = 90... 

Vamos representar o conjunto formado por esses números por M(6) (leia-se múltiplos de 6), que será o conjunto dos múltiplos de 6: 

M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, ...} 

Generalizando, podemos dizer: 

O conjunto dos múltiplos de um número natural não nulo A é o conjunto M(A) formado por todos os números naturais que são múltiplos de A: 

M(A) = {0, A, 2.A, 3.A, 4.A, 5.A, 6.A, 7.A, 8.A, 9.A, 10.A, 11.A, ...} 

VERIFICAÇÕES IMPORTANTES 

- O conjunto dos múltiplos de um número natural diferente de zero é um conjunto infinito. 

- Todo número natural não nulo é múltiplo dele mesmo, pois ele sempre é divisível por ele mesmo. 

- O número 0 é múltiplo de qualquer número natural não nulo, pois 0 dividido por qualquer número dá 0 (divisão exata). 

- Qualquer número natural é múltiplo do número 1, pois todos os números naturais são divisíveis por 1, portanto M(1) = N. 

- Quanto ao número 0, em hipótese alguma podemos dizer que um número seja divisível por ele. Entretanto, multiplicando cada um dos números naturais por 0, obtemos sempre 0. Por isso, consideramos que 0 é o único múltiplo de 0, ou seja, M(0) = {0}. 

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