A Notação Fatorial - n! – O que é, e como calcular um fatorial

by Roberto M.

Quase tudo na matemática envolve símbolos. Existem símbolos para expressar a soma, a multiplicação, a divisão, a radiciação, o somatório e muito mais. Até mesmo os algarismos são símbolos que expressam quantidades.

Outro dia falamos sobre o símbolo dos somatórios definidos, a famosa notação sigma. Relembre vendo “A Notação Sigma. Um símbolo para os somatórios definidos.”

Hoje vamos falar sobre a notação fatorial, um símbolo muito usado para facilitar a resolução dos problemas de contagens na Análise Combinatória, na Probabilidade e na Estatística.

É muito comum, nas disciplinas citadas acima, necessitarmos fazer a multiplicação de números naturais consecutivos a partir do 1 até um número qualquer definido.

Por exemplo, não é raro precisarmos do resultado da multiplicação de 1 até 5

1 x 2 x 3 x 4 x 5

ou de 1 até 10

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10

FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL ( n ) QUALQUER

A esse tipo de multiplicação, onde calculamos:

“O produto de todos os números naturais inferiores ou iguais a um certo número n dado”

Chamamos de:

Fatorial do número n

Assim indicado => n x (n – 1) x (n – 2) x … x 3 x 2 x 1

Exemplos:

1 - Fatorial de 5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

2 - Fatorial de 10 = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3 628 800

Observações:

1 – Como podemos notar, o zero não pode entrar nesta definição, pois se multiplicarmos todo o produto de n até 1 por zero teremos zero como resultado.

2 – Desse modo, para que a teoria não tenha nenhuma falha, os matemáticos tiveram que definir o valor do fatorial de zero e o definiram como sendo:

fatorial de zero = 1

A NOTAÇÃO FATORIAL -  n!

Imagine, porém, que o nosso problema exigisse fazer a multiplicação dos 100 primeiros números naturais, ou seja, do fatorial de 100

Será que, para registrarmos a solução, precisaríamos escrever o correspondente produto com cem fatores? Isso seria cansativo e enfadonho.

Para evitar a necessidade de escrevermos todos os cem fatores ou mesmo expressões com uso de reticências, como, por exemplo, 100 x 99 x 98 x . . . x 2 x 1, o matemático francês Christian Kramp por volta do ano de 1808  decidiu adotar uma notação muito simples para produtos desse tipo:

Ele decidiu colocar um ponto de exclamação junto ao algarismo e representar o fatorial do número natural n da seguinte maneira:

n!  (leia-se n fatorial)

Exemplos:

a - 0! = 1

b - 1! = 1

c - 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

d - 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3 628 800

e - n! = n x (n – 1) x (n – 2) x … x 3 x 2 x 1

DEFINIÇÃO FORMAL DE FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL

Após tudo que vimos acima, podemos definir o fatorial de um número natural qualquer do seguinte modo:

O fatorial de um número natural n, é o número denotado por n! e definido da seguinte forma:

- Se n = 0   então   n! = 1

- Se n > 0   então   n! = n x (n-1)!

Observação: Essa definição é também chamada de definição recursiva de fatorial, através da fórmula de recursão.

REPRESENTANDO UM FATORIAL A PARTIR DE UM FATORIAL MENOR

Como podemos notar, o desenvolvimento de um fatorial pode ser representado utilizando um outro fatorial menor.

Exemplos:

10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

10! = 10 x 9 x 7 x 6 x 5!

10! = 10 x 9 x 8!

Assim, podemos simplificar alguns cálculos, usando o artifício de não calcular totalmente o fatorial, mas sim uma parte dele e genericamente escrever:

(n+1)! = (n+1) x n x (n-1) x (n-2) x ... x 3 x 2 x 1

(n+1)! = (n+1) x n!

EXEMPLOS DE CÁLCULOS COM FATORIAIS

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

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