by Roberto M.
Quando estudamos as Dízimas Periódicas, vimos que:
Se obtivermos uma dízima periódica ao dividirmos o numerador pelo denominador de uma fração irredutível, dizemos que essa fração é a Geratriz da dízima.
Mas, se tivermos uma dízima periódica, como faremos para saber qual é a fração geratriz dessa dízima?
É sobre isso que vamos falar hoje. Vamos fazer um passo a passo de como encontrar a Fração Geratriz de qualquer dízima periódica.
Primeiramente, vamos ao processo geral de cálculo da Fração Geratriz para qualquer que seja a dízima periódica. Depois daremos um método prático para achar essa fração geratriz.
CÁLCULO GERAL DA FRAÇÃO GERATRIZ
Em qualquer dízima periódica, o número que se repete é chamado de período.
Através de uma equação simples, podemos encontrar a fração geratriz.
Com alguns exemplos, vamos ilustrar o passo a passo do procedimento.
Iremos descobrir a fração geratriz das seguintes dízimas periódicas:
Podemos seguir os seguintes passos:
1º passo:
Igualar a dízima periódica a uma incógnita, por exemplo x, formando uma equação do 1º grau.
Essa incógnita será a nossa Fração Geratriz. Solucionando a equação teremos nossa Fração Geratriz.
2º passo:
Nosso primeiro objetivo será deixar só o período depois da vírgula.
Então vamos multiplicar ambos os lados da equação por um múltiplo de 10 de tal modo a conseguir nosso primeiro objetivo.
Para descobrir qual será o múltiplo, devemos identificar quantas casas decimais devemos "andar" para deixar só o período depois da vírgula
Lembre-se que, multiplicar ambos os lados de uma igualdade pelo mesmo número não modifica a igualdade.
À equação assim encontrada chamaremos de equação principal.
Essas serão nossas equações principais.
3º passo:
Nosso segundo objetivo é deixar um período antes da vírgula.
Então, vamos multiplicar ambos os lados da equação principal por um múltiplo de 10 de tal modo a conseguir nosso segundo objetivo.
Para descobrir qual será o múltiplo, devemos identificar quantos casas decimais devemos "andar" para que um período fique antes da vírgula.
4º passo:
Visando facilitar a solução, vamos diminuir da equação encontrada no item anterior a equação principal.
Assim eliminamos os dígitos infinitos após a vírgula.
5º passo:
Agora, vamos resolver a equação encontrada no item anterior isolando a incógnita.
Desse modo, acharemos uma fração que, após as devidas simplificações, será a nossa fração geratriz desejada.
MÉTODO PRÁTICO PARA SE ENCONTRAR FRAÇÃO GERATRIZ
Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica, podemos também utilizar um método prático.
Em qualquer dízima periódica, o número que se repete depois da vírgula é chamado de período.
Vamos chamar o número antes da vírgula de parte inteira.
Vamos chamar o eventual número que não se repete após a vírgula (nas dízimas compostas) de parte diferente.
MÉTODO PRÁTICO PARA DÍZIMAS SIMPLES
Quando a dízima for simples: Por exemplo x=0,666.. ou x=1,3535…
O numerador será igual ao número formado pela diferença: (o número formado pela parte inteira e um período) menos o (número formado pela parte inteira).
E o denominador será igual ao número formado por: ( tantos "noves" quantos forem o número de algarismo do período).
Vendo os exemplos abaixo, ficará mais claro.
MÉTODO PRÁTICO PARA DÍZIMAS COMPOSTAS
Quando a dízima for composta: Por exemplo x=0,2444.. ou x=2,134545…
O numerador será um número formado pela diferença: do número formado por ( parte inteira e parte diferente e um período), menos o número formado por (parte inteira e parte diferente).
E o denominador será igual ao número formado por: (tantos "noves" quantos forem o número de algarismos do período + tantos "zeros" quantos forem o número de algarismos da parte diferente)
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