Cálculo da Área Circular Sombreada. Duas circunferências tangentes a um quadrado.

by Roberto M.

PROBLEMA

Considere dois círculos tangentes entre si e tangentes ao quadrado como mostrado na figura a seguir.

Sabendo que o quadrado tem lado de 2 cm,  Determine a área circular sombreada.

Vamos fazer um passo a passo da resolução desse problema, mas pense um pouco nele, tente resolve-lo antes de ver a solução.

RESOLUÇÃO

1 - Como a circunferência maior tangencia o quadrado de lado igual a 2, podemos dizer que seu raio é igual a 1.

Como não sabemos o valor do raio da circunferência menor, vamos chama-lo de raio R.

2 - Agora, vamos tentar descobrir o valor do raio R, para conseguirmos, depois, calcular a área sombreada, que na verdade é a área do círculo de raio R.

Para facilitar nosso raciocínio, vamos traçar 3 retas.

2.1 - A primeira reta será paralela ao lado superior do quadrado passando pelo ponto B (centro da circunferência menor).

2.2 - A segunda reta será paralela ao lado lateral do quadrado passando pelo ponto A (centro da circunferência maior) e definirá juntamente com a reta anterior o ponto C (intersecção das duas retas)

2.3 - A terceira reta passará pelos pontos A e B (centro das duas circunferências)

3 - Como podemos notar, com essa construção formamos um triângulo ABC (triângulo retângulo em C)

Vamos ver se conseguimos descobrir o valor dos lados desse triângulo. 

Para isso, vamos marcar os valores dos raios no desenho (R para o raio menor e 1 para o raio maior) e vamos analisar a figura.

Analisando a figura, descobrimos que:

BC = 1 - R

AC = 1 - R

AB = 1 + R

4 - Podemos muito bem usar o Teorema de Pitágoras nesse Triângulo Retângulo ABC

Teorema de Pitágoras => cateto² + cateto² =  hipotenusa²

Como vimos, temos: 

Cateto AC = 1 - R

Cateto BC = 1 - R

Hipotenusa AB = 1 + R

Logo:

(1 - R)² + (1 - R)² = (1 + R)²

5 - Vamos manejar essa equação para chegar em algo que consigamos calcular:

6 - Equação de segundo grau é uma equação que sabemos resolver. Lembrem-se da Fórmula de Báskara.

7 - Obtido o raio R, podemos agora calcular a área sombreada, que nada mais é do que o círculo de raio R

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