Como fazer operações com medidas de ângulos: soma e subtração, multiplicação e divisão.

by Roberto M.

Já sabemos o que é ângulo e qual a unidade de medida de ângulo. Quem quiser relembrar é só ler a postagem “Conceito de ângulo e de sua medida”.

Na postagem “Ângulos. Classificação e Nomenclatura. Aprenda a conhecê-los” aprendemos o que são ângulos consecutivos, ângulos adjacentes, ângulos complementares, ângulos suplementares, ângulo reto, agudo ou obtuso, de meia volta ou volta inteira.

Sabemos também como surgiu a unidade de medida de ângulo chamada grau. Relembre lendo a postagem “Por que a circunferência mede 360 graus”. Percebemos que em tudo isso, as medidas de ângulos são primordiais e, quase sempre, será necessário fazer operações com essas medidas de ângulos, ou seja: somar ou subtrair medidas de ângulos, multiplicar ou dividir medidas de ângulos por um número natural.

Para fazer operações com medidas de ângulos, é sempre bom lembrar que a unidade grau não é base 10 (decimal) e sim base 60.

Como é base 60, cada 1 grau é dividido em 60 partes iguais e cada uma dessas partes recebe o nome de um minuto (1’). Cada 1 minuto (1’) também é dividido em 60 partes iguais e cada uma dessas partes recebe o nome de 1 segundo (1’’).

Já aprendemos, em outra postagem, a fazer transformações nas unidades das medidas de ângulos, ou seja, já sabemos lidar com números mistos de graus, minutos e segundos e sabemos transformar graus em minutos, minutos em segundos, segundos e minutos em graus, etc. Quem quiser relembrar é só ler a postagem “Como transformar graus em minutos e vice-versa”.

Vamos, então, partir para as operações com medidas de ângulos.

Através de exemplos numéricos daremos a noção de como se faz cada operação.

ADIÇÃO DE MEDIDAS DE ÂNGULOS

Nesta operação vamos fazer o seguinte:

Vamos somar graus com graus, minutos com minutos e segundos com segundos.

Se, depois de somados, o número de segundos for maior ou igual a 60, teremos que transformar esses segundos em minutos e deixar somente os segundos inferiores a 60.

Daí, somamos os eventuais minutos obtidos dos segundos ao número de minutos que já tínhamos.

Se esses minutos forem superiores a 60 teremos que transformá-los em graus e deixar somente os minutos inferiores a 60.

Então, somamos esses eventuais graus obtidos dos minutos ao número de graus que já tínhamos anteriormente.

Assim chegaremos ao número de graus, minutos e segundos da adição.

Acompanhe o passo a passo do exemplo abaixo para entender melhor:

SUBTRAÇÃO DE MEDIDAS DE ÂNGULOS

Assim como na adição, nesta operação, também, vamos subtrair grau de grau, minuto de minuto e segundo de segundo.

Só que para isso, às vezes, teremos que fazer algumas adaptações.

Se os dois números (minuendo e subtraendo) têm os mesmos componentes, ou seja, os dois só têm graus, os dois só têm graus e minutos ou os dois têm graus, minutos e segundos e, todos os componentes do minuendo são maiores que os componentes do subtraendo, nada é necessário fazer; subtraindo-se, simplesmente, um do outro obtendo-se o resultado.

Veja o exemplo abaixo:

Entretanto, se os números não são compatíveis, ou seja, um só tem graus e o outro graus e minutos ou um só tem graus e minutos e o outro tem graus, minutos e segundos, teremos que deixá-los compatíveis emprestando um grau para fazer minutos ou um minuto para fazer segundos, quando e onde for necessário.

O exemplo abaixo vai esclarecer melhor:

Quando acontecer de os minutos ou os segundos do minuendo serem menores que os minutos ou segundos do subtraendo, teremos que usar o mesmo artifício, ou seja, emprestar um grau para virar minutos ou um minuto para virar segundos de modo a deixar todos os valores do minuendo (graus, minutos e segundos) maiores que os do subtraendo.

Veja o exemplo abaixo para melhor entendimento:

MULTIPLICAÇÃO DE MEDIDA DE ÂNGULO POR UM NÚMERO NATURAL

Nesta operação vamos fazer o seguinte:

Vamos multiplicar o número natural pelos graus, multiplicar o número natural pelos minutos e multiplicar o número natural pelos segundos. Desse modo, obtemos o número total de graus, minutos e segundos da multiplicação.

Se, depois de multiplicados, o número de segundos for maior ou igual a 60, teremos que transformar esses segundos em minutos e deixar somente os segundos inferiores a 60.

Daí, somamos os eventuais minutos advindos dos segundos ao número de minutos que já tínhamos.

Se esses minutos forem superiores a 60 teremos que transformá-los em graus e deixar somente os minutos inferiores a 60.
Então, somamos esses eventuais graus advindos dos minutos ao número de graus que já tínhamos anteriormente.

Assim chegaremos ao número de graus, minutos e segundos da multiplicação.

Veja o exemplo abaixo para entender melhor.

DIVISÃO DE MEDIDA DE ÂNGULO POR UM NÚMERO NATURAL

Nesta operação vamos fazer o seguinte:

Primeiramente, vamos dividir os graus pelo número natural. Se essa divisão der exata já teremos o número de graus do resultado. Se sobrar resto, transformamos esse resto em minutos e somamos aos minutos do número inicial.

Em seguida, vamos dividir os minutos (já acrescentados do resto anterior, se for o caso) pelo número natural. Se essa divisão der exata já teremos o número de minutos do resultado. Se sobrar resto, transformamos esse resto em segundos e somamos aos segundos do número inicial.

Por fim, vamos dividir os segundos (já acrescentados do resto anterior, se for o caso) pelo número natural. Se a divisão não der exata, continuamos a conta por tantas casas decimais desejarmos e obtemos o número de segundos (e sua fração decimal) do resultado.

Veja o exemplo abaixo para entender melhor:

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