A Notação Sigma. Um símbolo para os somatórios definidos.

by Roberto M.

Como sempre falo para os meus alunos, o primeiro passo para a resolução de um problema matemático qualquer é traduzi-lo, no papel, para o “matematiquês”.

Quase tudo na matemática é expressado por símbolos.

Os algarismos são símbolos que representam quantidades. Existem os símbolos para representar a multiplicação, a subtração, a radiciação e muitos outros mais.

Hoje vou falar sobre um símbolo muito usado na matemática, principalmente nos processos em que se exigem cálculos da soma de um conjunto de números.

Para denotar uma soma de vários números, usa-se a letra maiúscula grega sigma (S).

O sigma (S) é o “esse (S)” em grego e significa “somatório definido” de vários números na matemática. Essa notação é usada para abreviar a indicação de grandes somas.

Assim, se uma variável “x” tiver os valores 3, 6, 7 e 8 poderemos expressar a soma dessas variáveis da seguinte maneira:

3 + 6 + 7 + 8  = Sx = 24

Analogamente, se minhas despesas “y” nos postos de pedágio em uma determinada estrada foram $7,30; $7,00; $4,20 e $6,50; posso expressar minha despesa total com pedágio nessa viagem, assim:

Sy = $25,00

Mas, vamos generalizar a convenção dessa tal “notação sigma”:

NOTAÇÃO SIGMA (SOMATÓRIO DEFINIDO) 

Dada uma sucessão de números reais (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, ..., x_n) representa-se a sua soma por:

A leitura dessa notação se faz da seguinte maneira:

Somatória dos valores da variável (x) começando do primeiro (i=1) e terminando no enésimo (i=n).

Note-se que podemos definir o que quisermos de acordo com nossa necessidade. Assim, podemos dizer que o (i) varia do primeiro ao quinto, ou do terceiro ao décimo, etc.

EXEMPLOS

1°) Somatória dos 5 primeiros elementos de um conjunto.

Isso significa que devemos fazer a soma da variável (x) começando com o primeiro (i=1) e terminando com o quinto (i=5).

2°) Somar os elementos de um conjunto que estão entre o terceiro e o décimo, inclusive os dois.

Isso significa que devemos fazer a soma da variável (x) começando com o terceiro (i=3) e terminando com o décimo (i=10).

3°) Se apenas uma parte dos valores das variáveis é que deve ser somada, usamos os índices, como indicados acima, para determinar a parte que queremos somar. No entanto, se quisermos somar a totalidade dos valores das variáveis de um conjunto, ou seja, somar a todas as observações; costuma-se escrever a notação abreviadamente, sem os índices.

ALGUNS PROBLEMAS

Dado o conjunto de valores X_i = (7, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 4, 3). Calcular:

Respostas:

a) Neste caso, queremos fazer a somatória dos dois primeiros valores, pois o (i) varia de 1 a 2. Logo:

2

Sx_i = x₁ + x₂ = 7 + 1 = 8

i=1

b) Aqui, queremos fazer a somatória dos valores que estão da sétima à nona posições. Logo:

9

Sx_i = x₇ + x₈ + x₉  = 8 + 3 + 4 = 15

i=7

c) Agora queremos a soma de todos os valores do conjunto. Logo:

Sx_i = x₁+x₂+x₃+x₄+x₅+x₆+x₇+x₈+x₉+x₁₀ =

          7 + 1 + 2 + 5 + 6 + 7 + 8 + 3 + 4 + 3 = 46

PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO DEFINIDO (NOTAÇÃO SIGMA)

Às vezes, para simplificar uma soma quando estamos utilizando a notação sigma, podemos levar em conta as seguintes propriedades:

1°) Comutativa com constante.

Quando cada valor de uma variável deve ser multiplicado ou dividido por uma constante, essa constante pode ser aplicada após os valores serem somados. Ou seja:

Scx_i  =  cSx_i

Exemplo: Sendo x_i = (2, 3, 5)

S2x_i = 2Sx_i = 2(2+3+5) = 2 x 10 = 20

2°) Distributiva em relação à adição

O somatório de uma soma (ou diferença) de duas variáveis é igual à soma (ou diferença) dos somatórios individuais. Ou seja:

S(x_i + y_i)   =  Sx_i + Sy_i

Exemplo: Sendo x_i = (1, 2, 3) e y_i = (4, 5, 6)

S(1+2+3+4+5+6) = S(1+2+3) + S(4+5+6)

                       21 = 6 + 15

3º) Somatório de uma constante

A soma de uma constante (isto é, a soma de uma constante n vezes) é igual ao produto da constante pelo número n de vezes que ela ocorre. Ou seja:

                                                          n

Sc = nc

                                                         i=1

Exemplo:

  3

S6 = 6 + 6 + 6 = 3x6 = 18

 i=1

EXERCÍCIOS DE SOMATÓRIOS DEFINIDOS COM NOTAÇÃO SIGMA

Dados os conjuntos de valores:

X_i = ( 9, 10 11, 12)

Y_i = ( 3, 4, 5, 6)

Calcule as seguintes quantidades:

Tente fazer sozinho antes de verificar as soluções abaixo.

SOLUÇÃO E RESPOSTA DOS EXERCÍCIOS

-a) x₁ + x₂ + x₃ = 9 + 10 + 11 = 30

-b) y₂ + y₃ + y₄ = 4 + 5 + 6 = 15

-c) x₂y₂ + x₃y₃ = 10*4 + 11*5 = 40 + 55 = 95

-d) y₁*y₁ + y₂*y₂ = 3*3 + 4*4 = 9 + 16 = 25

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